3.2 Condiciones suficientes de existencia para la transformada de Laplace

Como la transformada de Laplace se define en términos de una integral impropia que puede ser divergente, existen funciones para las cuales no existe dicha transformada, incluso hay funciones discontinuas, como la del ejemplo anterior, que pueden tener transformada; entonces, ¿ bajo qué condiciones una funciones tienen transformada de Laplace ?. Antes de dar una respuesta parcial a esta pregunta debemos dar algunas definiciones.

FUNCIONES CONTINUAS A TROZOS:

GRAFICA

Intuitivamente podríamos pensar que las funciones continuas a trozos son casi contínuas o que no son demasiado discontínuas.

Otra de las ideas importantes en el estudio de la existencia de la transformada de Laplace es que entendemos porqué una función no crezca demasiado rápido.

En ingeniería resulta de interés el análisis y la correspondiente solución de sistemas mecánicos, circuitos

eléctricos y cargas mecánicas (tal vez sobre vigas) donde se produce alguna fuerza de excitación “muy

grande" aplicada en un lapso de tiempo “muy corto".

Casos típicos de estas situaciones son el golpe de bat sobre una pelota, un peso grande concentrado en un

“punto de una viga" por un intervalo de tiempo corto, una fuerza electromotriz que cambia repentinamente

en un intervalo pequeño de tiempo por efecto tal vez, de un rayo, etc.

3.1 Definición de la transformada de Laplace

La Transformada de Laplace es una técnica Matemática que forma parte de ciertas transformadas integrales como la transformada de Fourier, la transformada de Hilbert, y la transformada de Mellin entre otras. Estas transformadas están definidas por medio de una integral impropia y cambian una función en una variable de entrada en otra función en otra variable.

La transformada de Laplace puede ser usada para resolver Ecuaciones Diferenciales Lineales y Ecuaciones Integrales. Aunque se pueden resolver algún tipo de ED con coeficientes variables, en general se aplica a problemas con coeficientes constantes. Un requisito adicional es el conocimiento de las condiciones iniciales a la misma ED. Su mayor ventaja sale a relucir cuando la función en la variable independiente que aparece en la ED es una función seccionada.

Cuando se resuelven ED usando la técnica de la transformada, se cambia una ecuación diferencial en un problema algebraico. La metodología consiste en aplicar la transformada a la ED y posteriormente usar las propiedades de la transformada. El problema de ahora consiste en encontrar una función en la variable independiente tenga una cierta expresión como transformada.

Definición de la Transformada

Sea f una función definida para , la transformada de Laplace de f(t) se define como

1. La letra s representa una nueva variable, que para el proceso de integracion se considera constante
2. La transformada de Laplace convierte una funcion en t en una funcion en la variable s
3. Condiciones para la existencia de la transformada de una función:
1. De orden exponencial
2. Continua a trozos

El siguente video explica como se resuelve la Transfromada de Laplace.