jueves, 19 de mayo de 2011

3.16 Propiedades de la Transformada inversa

En este apartado se obtendrán las DFT’s de algunas señales significativas, para lo cual se puede usar el comando
MatLab.
1. Impulso unitario
: = [10000000] i x
2. Secuencia de unos
: 1 x1 = [11111111]Que relación guarda esta transformada con la obtenida en el punto anterior?
3. Impulso desplazado
4. Pulso rectangular
¿Y si se reduce? Comparar el resultado con el que se obtiene al usar el comando fft con un segundo argumento
especificando el número de puntos de la FFT. ¿Qué ocurre si ahora se aumenta el ancho del pulso?
5. DFT de Señales sinusoidales:
a) Estudiar la DFT en el caso de señales discretas sinusoidales, de la forma: s(n)=Acos(2πf0n+φ), para
n=0,1,2,...,N-1. Analizar los resultados.
b) Computar la DFT para un número N de puntos que comprenda un número exacto de ciclos de onda. ¿Qué ocurre
para un N arbitrario?
c) Experimentar con sinusoides de diferentes frecuencias. Analizar los resultados.
2 Resolución de la DFT
Generar dos señales suma de dos cosenos cada una, una de frecuencias 90 Hz y 100 Hz y la otra de 240 y 360 Hz.
Sea una frecuencia de muestreo de 1KHz con un intervalo de muestreo de 25ms.
1. Considerar que el orden de la DFT es igual a la longitud de la señal. ¿Son discernibles todas las componentes
sinusoidales de la señal?
2. Aumentar el orden de la DFT ¿Podemos discernir las sinusoides de 90 y 100 Hz?
3. Aumentar el tiempo de muestreo a 100ms y explicar las diferencias que ocurren si consideramos la DFT del
mismo orden que la longitud de a señal y si aumentamos dicho orden.
3 Transformada DFT inversa (IDFT)
1. IDFT mediante rotaciones circulares:
inversa está en el cambio de signo de las exponenciales complejas. Por tanto, bastaría realizar un cambio de variable
w
x
(n) = DTFT[X (−w)]
Para el caso de la DFT, las frecuencias positivas corresponden a k = 0,1,...(N / 2) −1, y las negativas a
k


esta reordenación puede realizarse como: Y = [X(1) X(N:-1:2)];
Escribir una función MatLab que calcule la IDFT como: [ ( )] ( ) 1 DFT Y k=
=
2. IDFT mediante conjugados:
Re{X(k)} N*Re{x(n)}
Im{X(k)} N*Im{x(n}
-1 -1
Demostrar que el procesado anterior realiza una IDFT y escribir una función Matlab que lo implemente.
Compárelo con el que realmente utiliza la función ifft de Matlab.
Este método corresponde al siguiente esquema:
N
x n
= N / 2) −1,...,N −1. 1. Por tanto, la reordenación a realizar sobre la DFT sería la siguiente:
→ −w para obtener la transformada inversa a partir de la directa:Podemos observar que la diferencia fundamental entre la DTFT y su: x [ones(1,4)zeros(1,4)] b = ¿Qué ocurre si se incrementa el número de ceros a 12, 28, ...?: = [000010000] ishift x Verificar la propiedad de desplazamiento circular.fft de
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3.15 Algunas Transformadas inversas

Se dice que f(t) es la transformada inversa de Laplace de F(s) y se expresa:

Algunas transformadas inversas



a) b)
c) d)
e) f)
g)



es una transformada lineal. Suponemos que la transformada inversa de Laplace es, en sí, una transformación lineal; esto es, si y son constantes,

en donde F y G son las transformadas de las funciones f y g.
La transformada inversa de Laplace de una función F(s) puede no ser única. Es posible que y, sin embargo, .
Comportamiento de F(s) cuando
Si f(t) es continua por tramos en y de orden exponencial para t>T, entonces
Demostración Dado que f(t) es continua parte por parte en , necesariamente es acotada en el intervalo; o sea . También cuando t>T. Si M representa el máximo de y c indica el máximo de , entonces

para s>c. Cuando , se tiene que , de modo que .







Primer teorema de traslación
Si F(s)=L{f(t)} y a es cualquier número real,

Demostración La demostración es inmediata

Segundo teorema de traslación
Si y a>0, entonces

Demostración Expresamos a como la suma de dos integrales:

.
Ahora igualamos v=t-a,dv=dt y entonces





Derivadas de transformadas



Si y n=1,2,3,..., entonces
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3.16 PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA INVERSA (LINEALIDAD, TRASLACIÓN)


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3.15 ALGUNAS TRANSFORMADAS INVERSAS

Se dice que f(t) es la transformada inversa de Laplace de F(s) y se expresa:


Algunas transformadas inversas


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lunes, 16 de mayo de 2011

3.13 TRANSFORMADA DE LAPLACE DE UNA FUNCION DELTA DIRAC

Definición [Función delta de Dirac]





Observación: la función delta de Dirac, no es una función, realmente es lo que se conoce como una función generalizada (o distribución).


 


El siguiente teorema establece la transformada de Laplace de la función delta de Dirac.
 
 



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3.14 Transformada Inversa

Al aplicar la transformada de Laplace a una ecuación diferencial la convertimos en una ecuación algebraica, la cual podemos resolver para $ Y(s)$, es decir, $ Y(s) = G(S)$. Ahora, como $ {\cal L} \{y(t) \} = Y(s)$ si pudiéramos devolvernos obtendríamos la solución $ y(t)$ que buscamos. Es decir, necesitamos de la transformada inversa $ {\cal L}^{-1} \{Y(s) \}$, para hallar la función $ y(t)$


$\displaystyle y(t) = {\cal L}^{-1} \{F(s) \} = {\cal L}^{-1} \{ G(s) \} $

Entonces definamos la transformada inversa.

Si $ F(s)$ es la transformada de Laplace de una función continua $ f(t)$, es decir, $ {\cal L} \{f(t) \} =F(s)$, entonces la transformada inversa de Laplace de $ F(s)$, escrita $ {\cal L}^{-1} \{ F(s) \}$ es $ f(t)$, es decir, $ {\cal L}^{-1} \{F(s) \} =f(t)$


 
Ejemplo
Calcule


$\displaystyle {\cal L}^{-1} \left\{ \frac{s}{s^2 + 4} \right\} $

Solución
Puesto que


$\displaystyle {\cal L} \{ Cos(2t) \} = \frac{s}{s^2 + 4} $

tenemos que


$\displaystyle {\cal L}^{-1} \left\{ \frac{s}{s^2 + 4} \right\} = Cos(2t) $

Observación existe un problema potencial al trabajar con la transformada inversa, puede no ser única. En efecto, es posible que $ {\cal L} \{f(t) \} = {\cal L} \{ g(t) \}$, siendo $ f(t) \neq g(t)$. Para nuestro propósito esto no es tan malo como parece, pues, si $ f$ y $ g$ son continuas y de orden exponencial en $ [0,+ \infty[$ y $ {\cal L} \{f(t) \} = {\cal L} \{ g(t) \}$, entonces $ f(t)=g(t)$; pero, si $ f$ y $ g$ son continuas y de orden exponencial en $ [0,+ \infty[$ y $ {\cal L} \{ f(t) \} = {\cal } \{g(t) \}$, entonces se puede demostrar que las funciones $ f$ y $ g$ son casi iguales; esto quiere decir, que pueden diferir sólo en puntos de discontinuidad.
 
Ejemplo
Calcule $ {\cal L} \{ f(t) \} $, donde $ f(t)$ esta dada por


$\displaystyle f(t) = \begin{cases} 1 & \text{Si $t \geq 0$, $t \neq 1$, $t\neq 2$\ } \\ 3 & \text{Si $t=1$} \\ 4 & \text{Si $t=2$} \\ \end{cases} $

¿Qué se puede concluir ?
Solución
Usando la definición de transformada
Pero, anteriormente hemos comprobado que


$\displaystyle {\cal L} \{ 1 \} = \frac{1}{s} $

con lo cual las funciones $ f(t)$ y $ g(t)$ tienen la misma transformada, de este modo, la transformada inversa de


$\displaystyle F(s)=\frac{1}{s} $

no es única.
El siguiente resultado establece el comportamiento de $ F(s)$ en infinito.


Sea $ f: [0,+\infty[ \rightarrow$   $ \mbox{$I \hspace{-1.3mm} R$}$$ $ una función continua a trozos y de orden exponencial en $ [0,+ \infty[$, entonces

$\displaystyle \lim_{s \rightarrow \infty} {\cal L} \{ f(t) \} = \lim_{s \rightarrow \infty} F(s) = 0 $


Demostración
Puesto que $ f(t)$ es continua a trozos en $ [0,+ \infty[$ necesariamente es acotada en este intervalo; o sea, $ \Vert f(t) \Vert < M$ para todo $ t \in [0,\infty[$. De donde


$\displaystyle \biggr\vert {\cal L} \left\{ f(t) \right\} \biggr\vert \leq \int_... ... \mid e^{-st} dt = -M \frac{e^{-st}}{s} \biggr\vert _0^{\infty} = \frac{M}{s} $

y así $ \mid {\cal L} \left\{ f(t) \right\} \mid \rightarrow 0$ cuando $ s \rightarrow \infty$, de modo que $ {\cal L} \left\{ f(t) \right\} \rightarrow 0$ cuando $ s \rightarrow \infty$.
 
Observación: el resultado anterior es válido independientemente de que $ f(t)$ sea continua a trozos o de orden exponencial, basta con que $ F(s)$ existe.
Ejemplo
¿ Porqué no existe una función $ f(t)$ tal que $ {\cal L} \{ f(t) \} = \frac{s}{s+1}$ ?
Solución
Suponga que existe, entonces por el teorema anterior


$\displaystyle \lim_{s \rightarrow \infty} \frac{s}{s+1} = 0 $

lo cual es falso; por lo tanto no existe tal función.
Observación: con un argumento similar podemos concluir que no existen una función $ f(t)$ tal que $ F(s)=1$, $ F(s) = s^2$, $ F(s)=Sen(s)$, $ F(s)=Ln(s)$, es decir, estas funciones no tienen transformada inversa. Por otro lado, una función racional $ F(s)=\frac{P(s)}{Q(s)}$ es la transformada de alguna función $ f(t)$ si el grado del numerador $ P(s)$ es menor que la del denominador $ Q(s)$.
Los siguientes resultados son útiles en análisis de sistemas de control automático, especialmente cuando se trazan gráficas.






Si $ {\cal L} \left\{ f(t) \right\}=F(s)$ y $ \lim_{t \rightarrow 0^+} f(t)$ existe y es igual a $ f(0)$,  entonces


$\displaystyle \lim_{t \rightarrow 0} f(t) = \lim_{s \rightarrow + \infty} sF(s)=f(0) $

 
Demostración:
Como


$\displaystyle {\cal L} \left\{f^{\prime}(t) \right\} = sF(s) - f(0) $

y


$\displaystyle \lim_{s \rightarrow + \infty} {\cal L} \left\{ f^{\prime}(t) \right\} = 0 $

siempre y cuando $ f^{\prime}(t)$ sea continua a trozos y de orden exponencial. Tenemos que


$\displaystyle \lim_{s \rightarrow + \infty} sF(s) = f(0) = \lim_{t \rightarrow 0^+} f(t) $

siempre y cuando $ f(t)$ sea continua por la derecha en $ t=0$.
 
Ejemplo
Si $ f(t)=Cos(t)$, calcule $ \lim_{s \rightarrow \infty} sF(s)$.
Solución
Usando el teorema del valor inicial


$\displaystyle \lim_{s \rightarrow \infty} sF(s) = f(0) = 1 $

Note que no fue necesario calcular $ F(s)$.





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