lunes, 16 de mayo de 2011

3.14 Transformada Inversa

Al aplicar la transformada de Laplace a una ecuación diferencial la convertimos en una ecuación algebraica, la cual podemos resolver para $ Y(s)$, es decir, $ Y(s) = G(S)$. Ahora, como $ {\cal L} \{y(t) \} = Y(s)$ si pudiéramos devolvernos obtendríamos la solución $ y(t)$ que buscamos. Es decir, necesitamos de la transformada inversa $ {\cal L}^{-1} \{Y(s) \}$, para hallar la función $ y(t)$


$\displaystyle y(t) = {\cal L}^{-1} \{F(s) \} = {\cal L}^{-1} \{ G(s) \} $

Entonces definamos la transformada inversa.

Si $ F(s)$ es la transformada de Laplace de una función continua $ f(t)$, es decir, $ {\cal L} \{f(t) \} =F(s)$, entonces la transformada inversa de Laplace de $ F(s)$, escrita $ {\cal L}^{-1} \{ F(s) \}$ es $ f(t)$, es decir, $ {\cal L}^{-1} \{F(s) \} =f(t)$


 
Ejemplo
Calcule


$\displaystyle {\cal L}^{-1} \left\{ \frac{s}{s^2 + 4} \right\} $

Solución
Puesto que


$\displaystyle {\cal L} \{ Cos(2t) \} = \frac{s}{s^2 + 4} $

tenemos que


$\displaystyle {\cal L}^{-1} \left\{ \frac{s}{s^2 + 4} \right\} = Cos(2t) $

Observación existe un problema potencial al trabajar con la transformada inversa, puede no ser única. En efecto, es posible que $ {\cal L} \{f(t) \} = {\cal L} \{ g(t) \}$, siendo $ f(t) \neq g(t)$. Para nuestro propósito esto no es tan malo como parece, pues, si $ f$ y $ g$ son continuas y de orden exponencial en $ [0,+ \infty[$ y $ {\cal L} \{f(t) \} = {\cal L} \{ g(t) \}$, entonces $ f(t)=g(t)$; pero, si $ f$ y $ g$ son continuas y de orden exponencial en $ [0,+ \infty[$ y $ {\cal L} \{ f(t) \} = {\cal } \{g(t) \}$, entonces se puede demostrar que las funciones $ f$ y $ g$ son casi iguales; esto quiere decir, que pueden diferir sólo en puntos de discontinuidad.
 
Ejemplo
Calcule $ {\cal L} \{ f(t) \} $, donde $ f(t)$ esta dada por


$\displaystyle f(t) = \begin{cases} 1 & \text{Si $t \geq 0$, $t \neq 1$, $t\neq 2$\ } \\ 3 & \text{Si $t=1$} \\ 4 & \text{Si $t=2$} \\ \end{cases} $

¿Qué se puede concluir ?
Solución
Usando la definición de transformada
Pero, anteriormente hemos comprobado que


$\displaystyle {\cal L} \{ 1 \} = \frac{1}{s} $

con lo cual las funciones $ f(t)$ y $ g(t)$ tienen la misma transformada, de este modo, la transformada inversa de


$\displaystyle F(s)=\frac{1}{s} $

no es única.
El siguiente resultado establece el comportamiento de $ F(s)$ en infinito.


Sea $ f: [0,+\infty[ \rightarrow$   $ \mbox{$I \hspace{-1.3mm} R$}$$ $ una función continua a trozos y de orden exponencial en $ [0,+ \infty[$, entonces

$\displaystyle \lim_{s \rightarrow \infty} {\cal L} \{ f(t) \} = \lim_{s \rightarrow \infty} F(s) = 0 $


Demostración
Puesto que $ f(t)$ es continua a trozos en $ [0,+ \infty[$ necesariamente es acotada en este intervalo; o sea, $ \Vert f(t) \Vert < M$ para todo $ t \in [0,\infty[$. De donde


$\displaystyle \biggr\vert {\cal L} \left\{ f(t) \right\} \biggr\vert \leq \int_... ... \mid e^{-st} dt = -M \frac{e^{-st}}{s} \biggr\vert _0^{\infty} = \frac{M}{s} $

y así $ \mid {\cal L} \left\{ f(t) \right\} \mid \rightarrow 0$ cuando $ s \rightarrow \infty$, de modo que $ {\cal L} \left\{ f(t) \right\} \rightarrow 0$ cuando $ s \rightarrow \infty$.
 
Observación: el resultado anterior es válido independientemente de que $ f(t)$ sea continua a trozos o de orden exponencial, basta con que $ F(s)$ existe.
Ejemplo
¿ Porqué no existe una función $ f(t)$ tal que $ {\cal L} \{ f(t) \} = \frac{s}{s+1}$ ?
Solución
Suponga que existe, entonces por el teorema anterior


$\displaystyle \lim_{s \rightarrow \infty} \frac{s}{s+1} = 0 $

lo cual es falso; por lo tanto no existe tal función.
Observación: con un argumento similar podemos concluir que no existen una función $ f(t)$ tal que $ F(s)=1$, $ F(s) = s^2$, $ F(s)=Sen(s)$, $ F(s)=Ln(s)$, es decir, estas funciones no tienen transformada inversa. Por otro lado, una función racional $ F(s)=\frac{P(s)}{Q(s)}$ es la transformada de alguna función $ f(t)$ si el grado del numerador $ P(s)$ es menor que la del denominador $ Q(s)$.
Los siguientes resultados son útiles en análisis de sistemas de control automático, especialmente cuando se trazan gráficas.






Si $ {\cal L} \left\{ f(t) \right\}=F(s)$ y $ \lim_{t \rightarrow 0^+} f(t)$ existe y es igual a $ f(0)$,  entonces


$\displaystyle \lim_{t \rightarrow 0} f(t) = \lim_{s \rightarrow + \infty} sF(s)=f(0) $

 
Demostración:
Como


$\displaystyle {\cal L} \left\{f^{\prime}(t) \right\} = sF(s) - f(0) $

y


$\displaystyle \lim_{s \rightarrow + \infty} {\cal L} \left\{ f^{\prime}(t) \right\} = 0 $

siempre y cuando $ f^{\prime}(t)$ sea continua a trozos y de orden exponencial. Tenemos que


$\displaystyle \lim_{s \rightarrow + \infty} sF(s) = f(0) = \lim_{t \rightarrow 0^+} f(t) $

siempre y cuando $ f(t)$ sea continua por la derecha en $ t=0$.
 
Ejemplo
Si $ f(t)=Cos(t)$, calcule $ \lim_{s \rightarrow \infty} sF(s)$.
Solución
Usando el teorema del valor inicial


$\displaystyle \lim_{s \rightarrow \infty} sF(s) = f(0) = 1 $

Note que no fue necesario calcular $ F(s)$.





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