3.13 Transformada de Laplace funcion Delta Dirac

ay00 + cy = f(t) y(0) = y0 y0(0) = y0

donde f(t) no se conoce explcitamente( aparece cuando se trabaja con fenomenos de

naturaleza impulsiva). La unica informacion que poseemos de f es que es nula excepto en

un intervalo muy peque~no de tiempo [t0; t1] y que su integral sobre dicho intervalo es no

nula.

Si el intervalo I0 es peque~no, al ser la integral no nula, ha de ser f(t) muy grande.

Estas funciones se conocen con el nombre de funciones impulso.

De¯nicion 8.7 La funcion Delta de Dirac ±(t) se caracteriza por las dos propiedades(t) =

siguientes:

1) ±

0 si t 6= 0

1 si t = 0

2)

R1(t)±(t)dt = f(0) para cualquier f(t)continua en algun abierto que contenga alAnalogamente a la funcion de Heaviside se puede hacer una traslacion

¡1 f

cero

1) ±(t ¡ a) =

0 si t 6= a

1 si t = a

2)

R1(t)±(t ¡ a)dt = f(a)

¡1 f

Nuestro objetivo es resolver ay00 + by0 + cy = f(t) por el metodo de la transformada

de Laplace.

Para ello hay que conocer Lf±(t ¡ t0)g:

Lf±

R1

0 e¡st±(t ¡ t0)dt = e¡st0 t0 ¸ 0

(t ¡ t0)g =

(

(

+ by0

En muchas aplicaciones fisicas y biologicas aparece a menudo el problema de valor inicial