lunes, 9 de mayo de 2011

3.10 Teorema de la convolución

En matemática, el teorema de convolución establece que bajo determinadas circunstancias, la Transformada de Fourier de una convolución es el producto punto a punto de las transformadas. En otras palabras, la convolución en un dominio (por ejemplo el dominio temporal) es equivalente al producto punto a punto en el otro dominio (es decir dominio espectral).
Sean f y g dos funciones cuya convolución se expresa con f \ast g . (notar que el asterisco denota convolución en este contexto, y no multiplicación; a veces es utilizado también el símbolo \otimes). Sea \mathcal{F} el operador de la transformada de Fourier, con lo que \mathcal{F}[f] y \mathcal{F}[g] son las transformadas de Fourier de f y g, respectivamente.

Entonces:

\mathcal{F}[f*g]=\sqrt{2\pi} (\mathcal{F}[f]) \cdot (\mathcal{F}[g])
donde · indica producto punto. También puede afirmarse que:
\mathcal{F}[f \cdot g]=\frac{\mathcal{F}[f]*\mathcal{F}[g]}{\sqrt{2\pi}}
Aplicando la transformada inversa de Fourier \mathcal{F}^{-1}, podemos escribir:
f*g=\sqrt{2\pi} \mathcal{F}^{-1}[\mathcal{F}[f]\cdot\mathcal{F}[g]]

 

 Demostración

La demostración funciona para normalizaciones unitarias y no unitarias de la transformada de Fourier, pero en la versión unitaria tiene factores extras de \sqrt{2\pi} que son inconvenientes aquí. Sean f, g \in L^1(\mathbb{R}^n)

Sean F la transformada de Fourier de f y G la transformada de Fourier de g:

F(\omega) = \int_{\mathbb{R}^n} f(x) e^{-2 \pi i x\cdot\omega} \,dx
G(\omega) = \int_{\mathbb{R}^n}g(x) e^{-2 \pi i x\cdot\omega} \,dx .

Sea h la convolución de f y g

h(z) = \int\limits_{\mathbb{R}^n} f(x) g(z-x)\, \mathrm{d} x.

Nótese que

\int\int |f(z)g(x-z)|\,dx\,dz=\int |f(z)| \int |g(z-x)|\,dx\,dz = \int |f(z)|\,\|g\|_1\,dz=\|f\|_1 \|g\|_1.

Del teorema de Fubini tenemos que h\in L^1(\mathbb{R}^n), así que su transformada de Fourier está definida. Sea H la transformada de Fourier de h:

H(\omega) = \int_{\mathbb{R}^n} h(z) e^{-2 \pi i z\cdot\omega}\, dz = \int_{\mathbb{R}^n} \int_{\mathbb{R}^n} f(x) g(z-x)\, dx\, e^{-2 \pi i z\cdot \omega}\, dz.

Obsérvese que |f(x)g(z-x)e^{-2\pi i z\cdot\omega}|=|f(x)g(z-x)| y gracias al argumento de arriba podemos aplicar nuevamente el teorema de Fubini:

H(\omega) = \int_{\mathbb{R}^n} f(x)\left(\int_{\mathbb{R}^n} g(z-x)e^{-2 \pi i z\cdot \omega}\,dz\right)\,dx.

Sustituyendo y = z − x; tenemos dy = dz, y por lo tanto:

H(\omega) = \int_{\mathbb{R}^n} f(x) \left( \int_{\mathbb{R}^n} g(y) e^{-2 \pi i (y+x)\cdot\omega}\,dy \right) \,dx
=\int_{\mathbb{R}^n} f(x)e^{-2\pi i x\cdot \omega} \left( \int_{\mathbb{R}^n} g(y) e^{-2 \pi i y\cdot\omega}\,dy \right) \,dx
=\int_{\mathbb{R}^n} f(x)e^{-2\pi i x\cdot \omega}\,dx \int_{\mathbb{R}^n} g(y) e^{-2 \pi i y\cdot\omega}\,dy.

Estas dos integrales son las definiciones de F(ω) y G(ω), así que:

H(\omega) = F(\omega) \cdot G(\omega).
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